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理解和计算算法复杂度

April 5, 2018 • 文章

一:渐近符号

1.1 符号的辨析

1.1.1 符号$O$

$O$,读作“大O”,非正式来说,$O(g(n))$是增长次数小于等于$g(n)$及其常数倍($n$趋向于无穷大)的函数集合。

定义 如果函数$f(n)$包含在$O(g(n))$中,记作$f(n)∈O(g(n))$(平时使用为了方便书写,我们通常使用$f(n)=O(g(n))$代替)。它的成立条件是:对于所有足够大的$n$,$f(n)$的上界由$g(n)$的常数倍所确定,也就是说,存在大于$0$的常数$c$和非负整数$n_0$,使得对于所有的$n≥n_0$来说,$f(n)≤c⋅g(n)$。

下图说明了这个定义:

下面给出几个例子:

$$
\begin{align}
n&=O(n^2)\tag{1.1.1.1}\\
100n+5&=O(n^2)\tag{1.1.1.2}\\
\frac 12n(n-1)&=O(n^2)\tag{1.1.1.3}\\
n^3&≠O(n^2)\tag{1.1.1.4}\\
0.00001n^3&≠O(n^2)\tag{1.1.1.5}
\end{align}
$$

1.1.2 符号$Ω$

$Ω$,读作“omega”,$Ω(g(n))$是增长次数大于等于$g(n)$及其常数倍($n$趋向于无穷大)的函数集合。

定义 如果函数$f(n)$包含在$Ω(g(n))$中,记作$f(n)=Ω(g(n))$。它的成立条件是:对于所有足够大的$n$,$f(n)$的下界由$g(n)$的常数倍所确定,也就是说,存在大于$0$的常数$c$和非负整数$n_0$,使得对于所有的$n≥n_0$来说,$f(n)≥c⋅g(n)$。

下图说明了这个定义:

下面给出几个例子:

$$
\begin{align}
n^3&=Ω(n^2)\tag{1.1.2.1}\\
\frac 12n(n-1)&=Ω(n^2)\tag{1.1.2.2}\\
100n+5&≠Ω(n^2)\tag{1.1.2.3}
\end{align}
$$

1.1.3 符号$Θ$

读作“theta”。

定义 如果函数$f(n)$包含在$Θ(g(n))$中,记作$f(n)=Θ(g(n))$。它的成立条件是:对于所有足够大的$n$,$f(n)$的上界和下界由$g(n)$的常数倍所确定,也就是说,存在大于$0$的常数$c_1,c_2$和非负整数$n_0$,使得对于所有的$n≥n_0$来说,$c_1⋅g(n)≤f(n)≤c_2⋅g(n)$。

下图说明了这个定义:

下面给出几个例子:

$$
\begin{align}
\frac 12n(n-1)&=Θ(n^2)\tag{$c_1=\frac 14,c_2=\frac 12,n_0=2$}\\
6n^3&≠Θ(n^2)\tag{1.1.3.2}
\end{align}
$$

1.2 符号的性质

定理 如果$t_1(n)=O(g_1(n))$并且$t_2(n)=O(g_2(n))$,则
$$
t_1(n)+t_2(n)=O(\max\{g_1(n),g_2(n)\})
$$

对于$Ω$和$Θ$符号,同样成立。

证明 增长次数的证明是基于以下简单事实:对于$4$个任意实数$a_1,b_1,a_2,b_2$,如果$a_1≤b_1$并且$a_2≤b_2$,则$a_1+a_2≤2\max\{b_1,b_2\}$。

因为$t_1(n)=O(g_1(n))$,且存在正常量$c_1$和非负整数$n_1$,使得对于所有的$n≥n_1$,有$t_1(n)≤c_1g_1(n)$。同理,因为$t_2(n)=O(g_2(n))$,对于所有的$n≥n_2$,亦有$t_2(n)≤c_2g_2(n)$。

假设$c_3=\max\{c_1,c_2\}$并且$n≥\max\{n_1,n_2\}$,就可以利用两个不等式的结论将其相加,得出以下结论:

$$
\begin{align}
t_1(n)+t_2(n)&≤c_1g_1(n)+c_2g_2(n)\tag{1.2.1}\\
&≤c_3g_1(n)+c_3g_2(n)=c_3[g_1(n)+g_2(n)]\tag{1.2.2}\\
&≤c_3⋅2\max\{g_1(n),g_2(n)\}\tag{1.2.3}
\end{align}
$$

那么,对于两个连续执行部分组成的算法,应该如何应用这个特性呢?它意味着该算法的整体效率是由具有较大增长次数的部分所决定的,即效率较差的部分决定

二:计算复杂度

对于一个普通函数(即非递归函数),其时间复杂度自然易求。下面我们主要谈谈如何求解递归函数的时间复杂度。

递归函数通常会有以下的方程式:

$$
T(n)=aT(\frac nb)+f(n)\tag{2.1}
$$
其中,$a≥1,b>1$,且都是常数,$f(n)$是渐近正函数。递归式$(2.1)$描述的是这样一种算法的运行时间:它将规模为$n$的问题分解为$a$个子问题,每个子问题规模为$\frac nb$,其中$a≥1,b>1$。$a$个子问题递归地求解,每个花费时间$T(\frac nb)$。函数$f(n)$包含了问题分解和子问题解合并的代价。

解决上述方程式常用的方法有两种:主定理分治法

2.1 主定理(Master Theorem)

定理 令$a≥1,b>1$,且都是常数,$f(n)$是一个函数,$T(n)$是定义在非负整数上的递归式,即:

$$
T(n)=aT(\frac nb)+f(n)
$$

其中我们将$\frac nb​$解释为$⌊\frac nb⌋​$或$⌈\frac nb⌉​$。那么$T(n)​$有如下渐近界:

(Case 1)如果$f(n)=O(n^c)$,其中$c<log_ba$,则:

$$
T(n)=Θ(n^{log_ba})
$$

(Case 2)如果存在常数$k≥0$,使$f(n)=Θ(n^clog^{k}n)$,其中$c=log_ba$,则:

$$
T(n)=Θ(n^clog^{k+1}n)
$$

(Case 3)如果$f(n)=Ω(n^c)$,其中$c>log_ba$,并且对某个常数$k<1$和所有足够大的$n$有$af(\frac nb)≤kf(n)$,则:

$$
T(n)=Θ(f(n))
$$

算法导论已有关于这个定理的证明,篇幅较长,故此处省略,有兴趣的读者可以自己去翻阅下。

2.2 分治法

分治法先把给定的实例划分为若干个较小的实例,对每个实例递归求解,然后如果有必要,再把较小实例的解合并成给定实例的一个解。假设所有较小实例的规模都为$\frac nb$,其中$a$个实例需要实际求解,对于$n=b^k,k=1,2,3...$,其中$a≥1,b>1$,得到以下结果:

$$
\begin{align}
T(n)&=aT(\frac nb)+f(n)\tag{原始递归方程式}\\
T(b^k)&=aT(b^{k-1})+f(b^k)\tag{2.2.2}\\
&=a[aT(b^{k-2})+f(b^{k-1})]+f(b^k)=a^2T(b^{k-2})+af(b^{k-1})+f(b^k)\tag{2.2.3}\\
&=a^3T(b^{k-3})+a^2f(b^{k-2})+af(b^{k-1})+f(b^k)\tag{2.2.4}\\
&=...\tag{2.2.5}\\
&=a^kT(1)+a^{k-1}f(b^1)+a^{k-2}f(b^2)+...+a^0f(b^k)\tag{2.2.6}\\
&=a^k[T(1)+\sum_{j=1}^{k} {\frac {f(b^j)}{a^j}}]\tag{2.2.7}
\end{align}
$$

由于$a^k=a^{log_bn}=n^{log_ba}$,当$n=b^k$时,对于式$(2.2.7)$我们可以推出下式:

$$
T(n)=n^{log_ba}[T(1)+\sum_{j=1}^{log_bn}{\frac {f(b^j)}{a^j}}]\tag{2.2.8}
$$

显然,$T(n)$的增长次数取决于常数$a$和$b$的值以及函数$f(n)$的增长次数。

三:常见的定理

以下是常用的的两条定理,它们依旧建立在递归方程式中,即:

$$
T(n)=aT(\frac nb)+f(n)\tag{$a≥1,b>1$}
$$

根据以上的方程式有以下两个定理:

3.1 定理1

定理1 对于递归方程式,若$a=1,b>1,f(n)=c,c$为某个常数,即:

$$
T(n)=T(\frac nb)+c
$$

则:

$$
T(n)=Θ(logn)
$$

证明 应用主定理 Case 2,其中$c=log_ba=log_b1=0$,再使$k=0$,则$f(n)=Θ(n^clog^kn)=Θ(1)$,这里的$f(n)$即等于常数$c$,证明成立。

3.2 定理2

定理2 对于递归方程式,若$a=1,b>1,f(n)=kn+p$,其中$k>0,p>0$且为某个常数(也就是$f(n)$是一个线性直线方程),即:

$$
T(n)=T(\frac nb)+(kn+p)\tag{$b>1,k>0,p$为某个常数}
$$

则:

$$
T(n)=Θ(n)
$$

证明 应用分治法中式$(2.2.8)$:

$$
\begin{align}
T(n)&=n^{log_ba}[T(1)+\sum_{j=1}^{log_bn}{\frac {f(b^j)}{a^j}}]\tag{3.2.1}\\
&=\sum_{j=1}^{log_bn}{(kb^j+p)}\tag{3.2.2}\\
&=plog_bn+\frac {kb}{b-1}(n-1)\tag{$k>0,p>0,b>1$}\\
&<pn+\frac {kb}{b-1}(n-1)\tag{3.2.4}\\
&=cn-\frac {kb}{b-1}\tag{$c>0$且为某个常数}\\
&=Θ(n)\tag{3.2.5}
\end{align}
$$

证明成立。

四:总结

第一部分辨析了$O,Ω,Θ$三种符号的区别以及它们的性质。

第二部分介绍了两种常用的计算时间复杂度方法,即主定理和分治法。

第三部分给出了生活中常见的两个定理,比较实用,希望读者能够熟记。

五:参考文献

  • 算法设计与分析基础
  • 维基百科. 主定理
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